Question

18．如图，在三棱台DEF-ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：平面ABED∥平面GHF；
（2）若BC=CF=$\frac{1}{2}$AB，求二面角A-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面平行的判定定理即可证明平面ABED∥平面GHF；
（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，
∴BC=2EF，AC=2DF，
∵G，H分别为AC，BC的中点，
∴GH∥AB，EF∥BH，EF=BH，
则四边形BHFE是平行四边形，
则BE∥FH，
∵GH∩FH=H，
∴平面ABED∥平面GHF；
（2）若BC=CF=$\frac{1}{2}$AB，
设BC=CF=$\frac{1}{2}$AB=1，则AB=2，
DE=1，
∵底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，
∴AC=$\sqrt{3}$，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
建立以C为坐标原点，CA，CB，CF分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），A（$\sqrt{3}$，0，0），F（0，0，1），E（0，$\frac{1}{2}$，1），
$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{z=\frac{\sqrt{3}}{2}x}\end{array}\right.$，
令x=2$\sqrt{3}$，则y=6，z=3，即$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，6，3），
平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{1×\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{57}}$=$\frac{\sqrt{57}}{19}$，
即二面角A-DE-F的余弦值是$\frac{\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．