Question

6．已知点A（-2，2）在直线l：mx-y-2m-4=0上的射影为H，点B（3，3），则|$\overline{BH}$|的取值范围是$[5-\sqrt{13}，5+\sqrt{13}]$．

Answer 1

分析 直线l：mx-y-2m-4=0化为m（x-2）-（y+4）=0，可得直线l经过定点P（2，-4），线段AP的中点为M（0，-1）．根据AH⊥PH，可得点H在以AP为直径的圆上，求出|BM|即可得出．

解答 解：直线l：mx-y-2m-4=0化为m（x-2）-（y+4）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{-（y+4）=0}\end{array}\right.$，解得x=2，y=-4．
∴直线l经过定点P（2，-4），
线段AP的中点为M（0，-1）．
∵AH⊥PH，
∴点H在以AP为直径的圆上，半径R=$\frac{1}{2}$|AP|=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
∵|BM|=$\sqrt{{3}^{2}+（-1-3）^{2}}$=5，
∴|$\overline{BH}$|的取值范围是$[5-\sqrt{13}，5+\sqrt{13}]$．
故答案为：$[5-\sqrt{13}，5+\sqrt{13}]$．

点评 本题考查了直线与圆的方程、两点之间的距离公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．