Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$其离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦点为F，抛物线y²=8x的焦点是椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F的直线与椭圆分别交于A，B两点，交y轴于P点，且$\overrightarrow{PA}={λ_1}\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{PB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，试问λ₁+λ₂是否为定值，若是求出该值，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．又抛物线y²=8x的焦点（2，0）恰好是该椭圆的一个顶点，可得a=2，可得b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可得出．
（2）由题意知，直线的斜率存在，由（1）知$F（{\sqrt{3}，0}）$，设直线的方程为：$y=k（{x-\sqrt{3}}）$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则点$P（{0，-\sqrt{3}k}）$．直线方程与椭圆方程联立可得：$（{1+4{k^2}}）{x^2}-8\sqrt{3}{k^2}x+12{k^2}-4=0$，利用根与系数的关系、向量坐标运算性质及其向量相等即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又抛物线y²=8x的焦点（2，0）恰好是该椭圆的一个顶点，∴a=2，∴c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由题意知，直线的斜率存在，由（1）知$F（{\sqrt{3}，0}）$，设直线的方程为：$y=k（{x-\sqrt{3}}）$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则点$P（{0，-\sqrt{3}k}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（{x-\sqrt{3}}）\end{array}\right.$，消去y，得$（{1+4{k^2}}）{x^2}-8\sqrt{3}{k^2}x+12{k^2}-4=0$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$．
∵$\overrightarrow{PA}={λ_1}\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{PB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，
∴$（{{x_1}，{y_1}+\sqrt{3}k}）={λ_1}（{\sqrt{3}-{x_1}，-{y_1}}）$，∴$（{{x_2}，{y_2}+\sqrt{3}k}）={λ_2}（{\sqrt{3}-{x_2}，-{y_2}}）$，
∴${λ_1}=\frac{x_1}{{\sqrt{3}-{x_1}}}，{λ_2}=\frac{x_2}{{\sqrt{3}-{x_2}}}$．
∴λ₁+λ₂=$\frac{x_1}{{\sqrt{3}-{x_1}}}+\frac{x_2}{{\sqrt{3}-{x_2}}}=\frac{{\sqrt{3}（{{x_1}+{x_2}}）-2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}-\sqrt{3}（{{x_1}+{x_2}}）+3}}=-8$．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质及其向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于难题．