Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

3

，右准线方程为x=

3

3

（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=2上动点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．

Answer 1

分析：（ I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．
（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，

a2 c = 3 3 c a = 3

，
解得a=1，c=

3

，
b²=c²-a²=2，
∴所求双曲C的方程x2-

y2

2

=1．
（Ⅱ）P（m，n）（mn≠0）在x²+y²=2上，
圆在点P（m，n）处的切线方程为y-n=-

m

n

（x-m），
化简得mx+ny=2．

x2- y2 2 =1 mx+ny=2

以及m²+n²=2得
（3m²-4）x²-4mx+8-2m²=0，
∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m²＜2，
3m²-4≠0，且△=16m²-4（3m²-4）（8-2m²）＞0，
设A、B两点的坐标分别（x₁，y₁），（x₂，y₂），
x₁+x₂=

4m

3m2-4

，x₁x₂=

8-2m2

3m2-4

．
∵cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

，
且

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+

1

y02

(2-x0x1)(2-x0x2)
=x₁x₂+

1

2-m2

[4-2m（x₁+x₂）+m²x₁x₂]
=

8-2m2

3m2-4

+

1

2-m2

[4-

8m2

3m2-4

+

m2(8-2m2)

3m2-4

]
=

8-2m2

3m2-4

-

8-2m2

3m2-4

=0．
∴∠AOB的大小为90⁰．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，
考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．