【题目】设,
,其中a,
.
Ⅰ
求
的极大值;
Ⅱ
设
,
,若
对任意的
,
恒成立,求a的最大值;
Ⅲ
设
,若对任意给定的
,在区间
上总存在s,
,使
成立,求b的取值范围.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】
Ⅰ
求出
的导数,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间,进而求得
的极大值;
Ⅱ
当
,
时,求出
的导数,以及
的导数,判断单调性,去掉绝对值可得
,构造函数
,求得
的导数,通过分离参数,求出右边的最小值,即可得到a的范围;
Ⅲ
求出
的导数,通过单调区间可得函数
在
上的值域为
,由题意分析
时,结合
的导数得到
在区间
上不单调,所以,
,再由导数求得
的最小值,即可得到所求范围.
Ⅰ
,
当时,
,
在
递增;当
时,
,
在
递减.
则有的极大值为
;
Ⅱ
当
,
时,
,
,
在
恒成立,
在
递增;
由,
在
恒成立,
在
递增.
设,原不等式等价为
,
即,
,
在
递减,
又,
在
恒成立,
故在
递增,
,
令,
,
∴
,
在
递增,
即有,即
;
Ⅲ
,
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减.
又因为,
,
,
所以,函数在
上的值域为
.
由题意,当取
的每一个值时,
在区间上存在
,
与该值对应.
时,
,
,
当时,
,
单调递减,不合题意,
当时,
时,
,
由题意,在区间
上不单调,所以,
,
当时,
,当
时,
0'/>
所以,当时,
,
由题意,只需满足以下三个条件:,
,
使
.
,所以
成立
由
,所以
满足,
所以当b满足即
时,符合题意,
故b的取值范围为.
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【题目】在三棱锥D-ABC中,,且
,
,M,N分别是棱BC,CD的中点,下面结论正确的是( )
A.B.
平面ABD
C.三棱锥A-CMN的体积的最大值为D.AD与BC一定不垂直
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【题目】截至2019年,由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的"中国最具幸福感城市"调查推选活动已连续成功举办12年,累计推选出60余座幸福城市,全国约9亿多人次参与调查,使"城市幸福感"概念深入人心.为了便于对某城市的"城市幸福感"指数进行研究,现从该市抽取若干人进行调查,绘制成如下不完整的2×2列联表(数据单位:人).
男 | 女 | 总计 | |
非常幸福 | 11 | 15 | |
比较幸福 | 9 | ||
总计 | 30 |
(1)将列联表补充完整,并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关;
(2)若感觉"非常幸福"记2分,"比较幸福"记1分,从上表男性中随机抽取3人,记3人得分之和为,求
的分布列,并根据分布列求
的概率
附:,其中
.
| 0. 10 | 0. 05 | 0. 010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6. 635 | 10. 828 |
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【题目】已知函数f(x)=(k+)lnx+
,k∈[4,+∞),曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y=f(x)在M,N两点处的切线互相平行,则x1+x2的取值范围为
A. (,+∞) B. (
,+∞) C. [
,+∞) D. [
,+∞)
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【题目】椭圆的左、右焦点分别为
,右顶点为A,上顶点为B,且满足向量
。
(1)若,求椭圆的标准方程;
(2)设为椭圆上异于顶点的点,以线段PB为直径的圆经过F1,问是否存在过F2的直线与该圆相切?若存在,求出其斜率;若不存在,说明理由。
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【题目】设椭圆,定义椭圆
的“相关圆
”的方程为
,若抛物线
的焦点与椭圆
的一个焦点重合,且椭圆
短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
(1)求椭圆的方程和“相关圆
”的方程;
(2)若直线与圆
相切,且与椭圆
交于
两点,
为坐标原点.
①求证:;
②求的最大值.
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【题目】已知抛物线的方程
,焦点为
,已知点
在
上,且点
到点
的距离比它到
轴的距离大1.
(1)试求出抛物线的方程;
(2)若抛物线上存在两动点
(
在对称轴两侧),满足
(
为坐标原点),过点
作直线交
于
两点,若
,线段
上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,请求出
的坐标,若不存在,请说明理由.
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