Question

9．圆心在抛物线x²=2y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程是（　　）

• A． （x±2）²+（y-1）²=4
• B． （x±1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=1
• C． （x-1）²+（y±2）²=4
• D． （x-$\frac{1}{2}$）²+（y±1）²=1

Answer 1

分析 由题意当a＞0时，可设圆心$（a，a-\frac{1}{2}）$，代入抛物线方程可得：${a}^{2}=2（a-\frac{1}{2}）$，解得a，即可得出圆的方程；当a＜0时，可设圆心$（a，-a-\frac{1}{2}）$，同理可得．

解答 解：由题意当a＞0时，可设圆心$（a，a-\frac{1}{2}）$，代入抛物线方程可得：${a}^{2}=2（a-\frac{1}{2}）$，解得a=1，半径r=1，可得圆的方程为$（x-1）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=1；
当a＜0时，可设圆心$（a，-a-\frac{1}{2}）$，代入抛物线方程可得：${a}^{2}=2（-a-\frac{1}{2}）$，解得a=-1，可得圆的方程为$（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=1．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．