Question

17．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，则双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
• B． y=±$\sqrt{3}$x
• C． y=±$\frac{1}{2}$x
• D． y=±x

Answer 1

分析 通过椭圆的离心率，得到ab的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，可得$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为：y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的基本性质，考查计算能力．