Question

已知函数f(x)=2

2

cos(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)+2

2

sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）用五点作图法在给出的坐标系中画出y=f（x）在[0，π]上的图象．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+

π

4

），从而可得f（x）的最小正周期和最大值；
（2）当x∈[0，π]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，用五点作图法在给出的坐标系中画出y=f（x）在[0，π]上的图象即可．

解答：解：（1）f（x）=

2

（cos²x-sin²x）+2

2

sinxcosx
=

2

cos2x+

2

sin2x
=2sin（2x+

π

4

），
f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π，
当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

时，
即x=kπ+

π

8

，k∈Z时，f（x）有最大值2．
（2）当x∈[0，π]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，

2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
y	2	2	0	-2	0	2

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查正弦函数的周期性与单调性，突出考查五点作图法，属于中档题．