Question

5．求s=$\sqrt{{x}^{4}-5{x}^{2}-8x+25}$-$\sqrt{{x}^{4}-3{x}^{2}+4}$的最大值．

Answer 1

分析 在函数y=x²的图象上求点N（x，x²），使得s=$\sqrt{{x}^{4}-5{x}^{2}-8x+25}$-$\sqrt{{x}^{4}-3{x}^{2}+4}$有最大值，y=$\sqrt{（{x}^{2}-3）^{2}+（x-4）^{2}}$+$\sqrt{（{x}^{2}-2）^{2}+{x}^{2}}$表示点（x，x²），分别到P（4，3），Q（0，2）距离差．

解答 解：在函数y=x²的图象上求点N（x，x²），使得s=$\sqrt{{x}^{4}-5{x}^{2}-8x+25}$-$\sqrt{{x}^{4}-3{x}^{2}+4}$有最大值，
y=$\sqrt{（{x}^{2}-3）^{2}+（x-4）^{2}}$+$\sqrt{（{x}^{2}-2）^{2}+{x}^{2}}$表示点N（x，x²），分别到P（4，3），Q（0，2）的距离差，
则PQ的延长线与y=x²的交点N为所求，|PQ|=|PN-QN|．
下面证明：y_max=|PQ|，
在y=x²上找一点不同于N点的M点．在△MPQ中，PQ≥|QM-PM|．
∴y_max=|PQ|=$\sqrt{（4-0）^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{17}$，
因此最大值为$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了函数的性质、两点之间的距离公式、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．