Question

14．设函数f（x）=（x-1）³，x∈R，其中a，b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x₀，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，求证：x₁+2x₀=3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=（x-1）³-ax-b，可得f′（x）=3（x-1）²-a．分两种情况讨论：（1）当a≤0，（2）当a＞0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0，且x₀≠1，由题意，得f′（x₀）=3（x₀-1）²-a=0，即（x₀-1）²=$\frac{a}{3}$，进而f（x₀）=（x₀-1）³-ax₀-b=-$\frac{2}{3}a{x}_{0}-\frac{a}{3}-b$．
又f（3-2x₀）=（2-2x₀）³-a（2-2x₀）-b=f（x₀），且3-2x₀≠x₀，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足f（x₁）=f（x₀），可得x₁=3-2x₀即可，

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=（x-1）³-ax-b，可得f′（x）=3（x-1）²-a．…..（1分）
下面分两种情况讨论：（1）当a≤0时，有f′（x）=3（x-1）²-a≥0恒成立，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．…..（3分）
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，或x=1-$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．…．（5分）
当x∈（-$∞，1-\frac{\sqrt{3}a}{3}$），（1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，+∞）时，f′（x）＞0，x$∈（1-\frac{\sqrt{3}a}{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$），f′（x）＜0
∴f（x）的单调递增区间为（-$∞，1-\frac{\sqrt{3}a}{3}$），（1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，+∞），f（x）的单调递减区间为（1-$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}a}{3}$），
（Ⅱ）证明：因为f（x）存在极值点，所以由（Ⅰ）知a＞0，且x₀≠1，由题意，得f′（x₀）=3（x₀-1）²-a=0，
即（x₀-1）²=$\frac{a}{3}$，进而f（x₀）=（x₀-1）³-ax₀-b=-$\frac{2}{3}a{x}_{0}-\frac{a}{3}-b$．…..（10分）
又f（3-2x₀）=（2-2x₀）³-a（2-2x₀）-b=f（x₀），且3-2x₀≠x₀，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足f（x₁）=f（x₀），且x₁≠x₀，因此x₁=3-2x₀，
所以x₁+2x₀=3…..（12分）

点评 本题考查了导数的综合应用，考查了利用导数求单调性、函数极值，属于中档题．