Question

6．平面内一动点M，到两定点F₁（-3，0），F₂（3，0）的距离之和等于10．
（1）求动点M的轨迹方程；    
（2）判断点$N（3，\frac{16}{5}）$是否在曲线上．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程，根据椭圆的定义，可知a和c，则b²=a²-c²，即可求得动点M的轨迹方程；
（2）将N点代入椭圆方程，验证是否满足．

解答 解：（1）由椭圆的定义可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由2a=10，a=5，c=3，
b²=a²-c²=16，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）由$\frac{9}{25}+\frac{1{6}^{2}}{25×16}=1$，故点$N（3，\frac{16}{5}）$在曲线上．

点评 本题考查椭圆的定义及方程的应用，考查计算能力，属于中档题．