Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知f（x）=ccos（C+x）-bcos（B+x）．
（1）若f（A）=a，判断△ABC的形状；
（2）若S_△ABC=

2

且A=

π

4

，求a的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角形的形状判断,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）把x=A代入已知关系式中，整理后利用正弦定理化简求出cosB=0，确定出B为直角，即可得出三角形形状；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式求出a的最小值即可．

解答： 解：（1）由题意得：f（A）=ccos（C+A）-bcos（B+A）=-ccosB+bcosC，
由f（A）=a，得到-ccosB+bcosC=a，
利用正弦定理化简得：-sinCcosB+sinBcosC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，即2sinCcosB=0，
∵B，C为三角形内角，∴B=

π

2

，
则△ABC为直角三角形；
（2）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

，且A=

π

4

，
∴bc=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

bc≥2bc-

2

bc=8-4

2

，
则a的最小值为

8-4 2

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．