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精英家教网已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2).
(1)求k的取值范围,并求x2-x1的最小值;
(2)记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么k1•k2是定值吗?证明你的结论.
分析:(1)由l与圆相切,知m2=1+k2,由
y=kx+m
x2-y2=1
,得(1-k2)x2-2mkx-(m2+1)=0,所以
1-k2≠0
△=4m2k2+4(1-k2)
x1x2=
m2+1
k2-1
<0
(m2+1)=4(m2+1-k2)=8>0
由此能求出k的取值范围和x2-x1的最小值.
(2)由已知可得A1,A2的坐标分别为(-1,0),(1,0),k1=
y1
x1+1
k2=
y2
x2-1
k1k2=
y1y2
(x1+1)(x2-1)
=
(kx1+m)(kx2+m)
(x1+1)(x2-1)
.由此能证明k1•k2是定值.
解答:精英家教网解:(1)∵l与圆相切,∴1=
|m|
1+k2
∴m2=1+k2(2分)
y=kx+m
x2-y2=1
,得(1-k2)x2-2mkx-(m2+1)=0,∴
1-k2≠0
△=4m2k2+4(1-k2)
x1x2=
m2+1
k2-1
<0
(m2+1)=4(m2+1-k2)=8>0
,∴k2<1,∴-1<k<1,故k的取值范围为(-1,1).(5分)
由于x1+x2=
2mk
1-k2
x2-x1=
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
2
|1-k2|
=
2
2
1-k2

∵0≤k2<1∴当k2=0时,x2-x1取最小值2
2
.(7分)
(2)由已知可得A1,A2的坐标分别为(-1,0),(1,0),
k1=
y1
x1+1
k2=
y2
x2-1
,∴k1k2=
y1y2
(x1+1)(x2-1)
=
(kx1+m)(kx2+m)
(x1+1)(x2-1)
(10分)
=
k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
x1x2+(x2-x1)-1
=
k2
m2+1
k2-1
-mk•
2mk
k2-1
+m2
m2+1
k2-1
-
2
2
k2-1
-1

=
m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2
m2+1-2
2
-k2+1
=
k2-m2
m2-k2+2-2
2

由m2-k2=1,∴k1k2=
-1
3-2
2
=-(3+2
2
)
为定值.(14分)
点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,双曲线的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.
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16
+
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=1
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2
2

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