Question

已知椭圆的离心率为,其中左焦点(-2,0).
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x²+y²=1上,求m的值.

Answer 1

(1);(2)

解析试题分析：（1）根据椭圆的基本性质列三个关于a,b,c的方程即可求出a,b。从而求出椭圆方程。（2）联立方程组消去y得到3x²+4mx+2m²-8=0，因为有两个交点，所以判别式大于0，解出m的范围，再由韦达定理得到两根之和，两根之积。根据中点坐标公式求出中点坐标，在将其代入圆的方程即可求出m.
试题解析： (1) 由题意,得 解得∴椭圆C的方程为 
(2) 设点A、B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂, y₂),线段AB的中点为M(x₀,y₀),
由消y得,3x²+4mx+2m²-8=0,
Δ=96-8m²>0,∴-2<m<2.
∴
∵点M(x₀,y₀)在圆x²+y²=1上,] 所以，所以
考点：椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系