设函数 $数学公式$ ，若有且仅有一个正实数x₀，使得h₇（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正数t都成立，则x₀=

A.
5
B.
$数学公式$
C.
3
D.
$数学公式$

D
分析：构造函数g（t）= $\text{[math]}$ ，则g′（t）= $\text{[math]}$ ，分析可得g（ $\text{[math]}$ ）即为函数g（t）= $\text{[math]}$ 的最大值，则可将已知化为 $\text{[math]}$ =7．
解答：令g（t）= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ），则g′（t）= $\text{[math]}$
令g′（t）=0，则t= $\text{[math]}$ ，由此得t＜ $\text{[math]}$ ，g′（t）＞0，t＞ $\text{[math]}$ ，g′（t）＜0，
可得g（ $\text{[math]}$ ）即为函数g（t）= $\text{[math]}$ 的最大值，
若有且仅有一个正实数x₀，使得h₇（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正数t都成立，
则g（7）为函数g（t）的最大值，且7是函数g（t）的唯一最大值
∴ $\text{[math]}$ =7
又∵x₀为正实数，
故x₀= $\text{[math]}$
故选D
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中构造以t为自变量的新函数，并分析函数的单调性，进而将已知转化为 $\text{[math]}$ =7是解答的关键．

练习册系列答案

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f(x+

5π

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，x∈[-

，

]，求x；
（2）若x∈R，试讨论函数g（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）已知：对于任意x₁，x₂∈R，恒有sin2x₁-sin2x₂≤2（x₁-x₂），当且仅当x₁=x₂时，等号成立．若a≥2，求证：函数g（x）在R上是递增函数．

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x2+a

bx-c

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)=1（S_n是数列{a_n}的前n项和），求证：(1-

)an+1＜

＜(1-

)an；
（3）在（2）的条件下，设bn=-

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①若函数y=f（x）有反函数，则f（x）有且仅有一个零点；
②函数f（x）=2x³-3x+1有3个零点；
③函数y=

和y=|log₂x|的图象的交点有且只有一个；
④设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），且函数f（x）恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；
其中所有正确命题的序号为

②④

．（把所有正确命题的序号都填上）

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-1，k为非零实数．
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