Question

已知

a

b-c

=

b

c-a

=

c

a-b

，求证：a³+b³+c³=3abc．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：利用合比定理可知

a

b-c

=-

b+c

b-c

⇒a=-（b+c），代入所证关系式的左端，利用立方和公式即可证得左端=右端．

解答：证明：∵

a

b-c

=

b

c-a

=

c

a-b

=

b+c

(c-a)+(a-b)

=

b+c

c-b

，即

a

b-c

=

b+c

c-b

=-

b+c

b-c

，
∴a=-（b+c），
∴a³+b³+c³
=[-（b+c）]³+b³+c³
=-（b+c）³+（b+c）（b²-bc+c²）
=（b+c[-（b+c）²+b²-bc+c²]
=（b+c）（-b²-2bc-c²+b²-bc+c²）
=-a•（-3bc）
=3abc．
∴a³+b³+c³=3abc（证毕）．

点评：本题考查综合法与分析法的应用，考查转化思想与推理论证能力，属于难题．