Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-3a²+a（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a）．令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2a
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2a）	2a	（2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	-3a2+a	递减?	-4a3-3a2+a	递增?

由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2a，+∞）；单调递减区间为（0，2a）．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．
f（0）=-3a²+a，f（2a）=-4a³-3a²+a．由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，
∴f（0）×f（2a）≤0即（-3a²+a）（-4a³-3a²+a）≤0
∴a²（3a-1）（4a-1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a-1）（4a-1）≤0，解得≤a≤故实数a的取值范围是[，]．
分析：（1）已知函数f（x）=x³-3ax²-3a²+a，对其进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，从而求出其单调区间；
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值，再根据零点定理求出实数a的取值范围．
点评：此题主要考查利用导数求函数的单调性，以及零点定理的应用，此题是一道中档题，这也是高考常考的题型．