Question

17．已知正实数x，y，且x²+y²=1，若f（x，y）=$\frac{{{x^3}+{y^3}}}{{{{（x+y）}^3}}}$，则f（x，y）的值域为[$\frac{1}{4}$，1）．

Answer 1

分析 根据条件，可得到$f（x，y）=\frac{1-xy}{1+2xy}$，然后分离常数得到$f（x，y）=-\frac{1}{2}+\frac{\frac{3}{2}}{1+2xy}$，由条件可求得$0＜xy≤\frac{1}{2}$，这样便可求出f（x，y）的值域．

解答 解：x²+y²=1；
∴$f（x，y）=\frac{{x}^{3}+{y}^{3}}{（x+y）^{3}}$
=$\frac{（x+y）（{x}^{2}+{y}^{2}-xy）}{（x+y）^{3}}$
=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-xy}{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}$
=$\frac{1-xy}{1+2xy}$
=$\frac{-\frac{1}{2}（1+2xy）+\frac{3}{2}}{1+2xy}$
=$-\frac{1}{2}+\frac{\frac{3}{2}}{1+2xy}$；
∵1=x²+y²≥2xy，且x，y＞0；
∴$0＜xy≤\frac{1}{2}$；
∴1＜1+2xy≤2；
∴$\frac{3}{4}≤\frac{\frac{3}{2}}{1+2xy}＜\frac{3}{2}$；
∴$\frac{1}{4}≤f（x，y）＜1$；
∴f（x，y）的值域为$[\frac{1}{4}，1）$．
故答案为：[$\frac{1}{4}$，1）．

点评 考查立方和公式，分离常数法的运用，以及不等式a²+b²≥2ab的应用，不等式的性质．