【题目】对于函数f(x),若存在x∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b﹣1)(a≠0).
(1)当a=1,b=2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若f(x)的两个不动点为x1 , x2 , 且f(x1)+x2= ,求实数b的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)=x2+3x+1,因为x0为不动点,
因此 ,所以x0=﹣1,
所以﹣1为f(x)的不动点
(2)解:因为f(x)恒有两个不动点,f(x)=ax2+(b+1)x+(b﹣1)=x,
ax2+bx+(b﹣1)=0(※),
由题设b2﹣4a(b﹣1)>0恒成立,
即对于任意b∈R,b2﹣4ab+4a>0恒成立,
所以(4a)2﹣4(4a)<0a2﹣a<0,所以0<a<1
(3)解:因为 ,所以
,
令t=a2∈(0,1),则 ,
,
∴2+ >3,可得b=
∈(0,
)
∴
【解析】(1)写出函数f(x)=x2+3x+1,利用不动点定义,列出方程求解即可.(2)f(x)恒有两个不动点,得到ax2+(b+1)x+(b﹣1)=x,通过b2﹣4a(b﹣1)>0恒成立,利用判别式得到不等式求解即可.(3)利用定义推出 ,通过换元令t=a2∈(0,1),任何求解b的范围.
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【题目】已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为( )
A.10+4 ?+4
B.10+2 ?+4
??
C.14+2 ?+4
D.14+4 ?+4
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【题目】定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f( )=0,则不等式xf(x)>0的解集是( )
A.(0, )
B.( ,+∞)??
C.(﹣ ,0)∪(
,+∞)
D.(﹣∞,﹣ )∪(0,
)
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【题目】如图,定义在[﹣1,2]上的函数f(x)的图象为折线段ACB,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)请用数形结合的方法求不等式f(x)≥log2(x+1)的解集,不需要证明.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
:
,以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
:
.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
,求
的参数方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】已知函数在点
处的切线方程为
,
(其中
为常数).
(1)求函数的解析式;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,求证:
(其中e为自然对数的底数).
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【题目】已知定义在区间(﹣1,1)上的函数f(x)= 是奇函数,且f(
)=
,
(1)确定f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性并用定义证明;
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
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【题目】设函数f(x)= ,若f(﹣4)=f(0),f(﹣2)=﹣1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象,并指出函数的定义域、值域、单调区间.
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