Question

【题目】已知函数f（x）=lg（mx2+mx+1），若此函数的定义域为R，则实数m的取值范围是；若此函数的值域为R，则实数m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[0，4）；[4，+∞）
【解析】解：（1.）∵函数f（x）=lg（mx2+mx+1）的定义域为R，∴mx2+mx+1＞0在R上恒成立，
①当m=0时，有1＞0在R上恒成立，故符合条件；
②当m≠0时，由 ，
解得0＜m＜4，
综上，实数m的取值范围是[0，4）．
（2.）令g（x）=mx2+mx+1的值域为A，
∵函数f（x）=lg（mx2+mx+1）的值域为R，
∴（0，+∞）A，
当m=0时，g（x）=1值域不是为R，不满足条件；
当m≠0时， ，解得：m≥4，
所以答案是：[0，4），[4，+∞）．
【考点精析】关于本题考查的函数的定义域及其求法，需要了解求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零才能得出正确答案．