Question

已知函数f(x)=asinxcosx-

3

acos2x+

3

2

a+b
（1）当a＞0时，写出函数的单调递减区间；
（2）设x∈[0，

π

2

]，f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出正弦函数的单调递减区间；
（2）把函数的最小值和最大值代入，列出方程组求解即可．

解答：（1）

f(x)=asinxcosx- 3 acos2x+ 3 2 a+b = a 2 sin2x- 3 2 a(1+cos2x)+ 3 2 a+b =asin(2x- π 3 )+b

因为a＞0，则由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
则

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z
则函数的单调递减区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
则sin(2x-

π

3

)∈[-

3

2

，1]
①当a＞0时
则有

a+b= 3 - 3 2 a+b=-2

解得

a=2 b= 3 -2

②当a＜0时
则有

a+b=-2 - 3 2 a+b= 3

解得

a=-2 b=0

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．