Question

椭圆E：

x2

16

+

y2

4

=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线的斜率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，利用中点坐标公式，斜率计算公式，通过作差，即可求出直线的斜率．

解答： 解：根据题意，画出图形，如图所示；
设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率为k；
则

x12

16

+

y12

4

=1①，

x22

16

+

y22

4

=1②；
∴①-②，得

(x1+x2)(x1-x2)

16

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0；
∵x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴

4(x1-x2)

16

+

2(y1-y2)

4

=0；
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应根据题意，应用椭圆的简单性质，灵活运用作差法求直线的斜率，是基础题．