Question

设函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是增函数，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是增函数转化成f'（x）≥0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．

解答： 解：f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是增函数，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≥0在区间（0，4）上恒成立
当k=0时，f'（x）=-6＜0，显然不成立；
当k＞0时，由于二次函数y=3kx²+6（k-1）x，开口向上，始终过原点，
对称轴为x=-

1

2

•

6(k-1)

3k

=

1-k

k

，
只有当

1-k

k

≤0时，才满足3kx²+6（k-1）x≥0在区间（0，4）上恒成立，解得k≥1；
当k＜0时，由于二次函数y=3kx²+6（k-1）x，开口向下，始终过原点，
对称轴为x=

1-k

k

，
只有当

1-k

k

≥0，且f'（4）≥0，时才满足，解得此时k≥

1

2

，显然与k＜0矛盾，故应舍去．
综上，可知k≥1
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题．