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    【题目】已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.

    （1）求曲线的方程；

    （2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.

    【答案】（1）（2）的最小值为1，此时直线：

    【解析】

    （1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；

    （2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，

    设，，则可得，，由求出，

    将直线方程与联立，得，求得，计算，设.显然，构造，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线的方程.

    （1）设，则，即

    整理得

    （2）设：，将其与曲线的方程联立，得

    即

    设，，则，

    将直线：与联立，得

    ∴

    ∴

    设.显然

    构造

    在上恒成立

    所以在上单调递增

    所以，当且仅当，即时取“=”

    即的最小值为1，此时直线：.

    （注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵，交警部门记录了11月份30天内的拥堵情况（如下表所示，其中●表示拥堵，○表示通畅）.假设每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率.

    11.1

    11.2

    11.3

    11.4

    11.5

    11.6

    11.7

    11.8

    11.9

    11.10

    11.11

    11.12

    11.13

    11.14

    11.15

    东入口

    ●

    ○

    ○

    ○

    ○

    ●

    ○

    ●

    ●

    ○

    ●

    ●

    ●

    ○

    ●

    西入口

    ○

    ○

    ●

    ●

    ○

    ●

    ○

    ●

    ○

    ●

    ○

    ●

    ●

    ○

    ○

    南入口

    ○

    ●

    ○

    ○

    ○

    ●

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ●

    北入口

    ●

    ○

    ○

    ○

    ●

    ○

    ○

    ●

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ●

    ○

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    11.29

    11.30

    东入口

    ●

    ○

    ○

    ●

    ○

    ○

    		p>○

    ●

    ●

    ○

    ●

    ○

    ●

    ○

    ●

    西入口

    ●

    ○

    ●

    ●

    ○

    ●

    ○

    ●

    ○

    ●

    ○

    ●

    ○

    ●

    ○

    南入口

    ○

    ○

    ○

    ●

    ○

    ○

    ○

    ○

    ●

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ●

    北入口

    ○

    ○

    ●

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ○

    ●

    ○

    （1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率.

    （2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择.方案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用为（，且）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该如何选择？请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知正项数列的前项和为，若,.

    （1）证明：当时，；

    （2）求数列的通项公式；

    （3）设，求数列的前项和.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】国家每年都会对中小学生进行体质健康监测，一分钟跳绳是监测的项目之一.今年某小学对本校六年级300名学生的一分钟跳绳情况做了统计，发现一分钟跳绳个数最低为10，最高为189.现将跳绳个数分成，，，，，6组，并绘制出如下的频率分布直方图.

    （1）若一分钟跳绳个数达到160为优秀，求该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数；

    （2）上级部门要对该校体质监测情况进行复查，发现每组男、女学生人数比例有很大差别，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为，组男、女人数之比为.试估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留整数）.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，为上一点，且.

    （1）证明：直线平面；

    （2）求二面角的余弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ）

    A.当时，

    B.函数有3个零点

    C.的解集为

    D.，都有

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设，，其中m是不等于零的常数.

    （1）时，直接写出的值域；

    （2）求的单调递增区间；

    （3）已知函数，，定义：，，，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.例如：，，则，，，.当时，恒成立，求n的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知数列：，，，（），与数列：，，，，（），记.

    （1）若，求的值；

    （2）求的表达式；

    （3）已知，且存在正整数，使得在中有4项为100，求的值，并指出哪4项为100.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图所示的圆锥的体积为，圆的直径，点C是的中点，点D是母线PA的中点.

    （1）求该圆锥的侧面积；

    （2）求异面直线PB与CD所成角的大小.

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