Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P{b_n，b _n+1）在直线x-y+2=上．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n-b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用a_n是S_n与2的等差中项把1代入即可求a₁，利用S_n=2a_n-2，再写一式，两式作差即可求数列{a_n}的通项；对于数列{b_n}，直接利用点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，得数列{b_n}是等差数列即可求通项；
（Ⅱ）先把所求结论代入求出数列{c_n}的通项，再利用数列求和的公式法可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n是S_n与2的等差中项，∴S_n=2a_n-2，①
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，②
①-②可得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2），即数列{a_n}是等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ，
又∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，
∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c_n=a_n-b_n=2ⁿ-2n+1，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=

2(1-2n)

1-2

-

(1+2n-1)n

2

=2ⁿ⁺¹-2-n²

点评：本题考查数列的通项，涉及等差中项以及数列求和，属中档题．