Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{a{x^2}+1}}{e^x}$（e为自然对数的底数），函数g（x）满足g′（x）=f′（x）+2f（x），其中f′（x），g′（x）分别为函数f（x）和g（x）的导函数，若函数g（x）在[-1，1]上是单调函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a≤1
• B． -$\frac{1}{3}$≤a≤1
• C． a＞1
• D． a≥-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，从而求出g（x）的导数，构造ϕ（x）=ax²+2ax+1，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{a{x^2}+1}}{e^x}$，
∴$f'（x）=\frac{{2ax{e^x}-（a{x^2}+1）{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=\frac{{2ax-a{x^2}-1}}{e^x}$，
∴$g'（x）=f'（x）+2f（x）=\frac{{a{x^2}+2ax+1}}{e^x}$，
∵g（x）在[-1，1]上是单调函数，
则当-1≤x≤1时，g'（x）≥0恒成立或g'（x）≤0恒成立，
又∵g'（0）=1＞0，所以当-1≤x≤1时，g'（x）≤0恒成立必定无解，
∴必有当-1≤x≤1时，g'（x）≥0恒成立，
设ϕ（x）=ax²+2ax+1，
当a=0时，ϕ（x）=1成立；
当a＞0时，由于ϕ（x）在[-1，1]上是单调递增，
所以ϕ（-1）≥0得a≤1；
当a＜0时，由于ϕ（x）在在[-1，1]上是单调递减，
所以ϕ（1）≥0得$a≥-\frac{1}{3}$，
综上：$-\frac{1}{3}≤a≤1$．
故选：B

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．