Question

7．若函数f（x）=e^x+x³-$\frac{1}{2}x$-1的图象上有且只有两点P₁，P₂，使得函数g（x）=x³+$\frac{m}{x}$的图象上存在两点Q₁，Q₂，且P₁与Q₁、P₂与Q₂分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是{$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{e}$}．

Answer 1

分析 设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），由关于原点对称可得Q₁，Q₂的坐标，分别代入f（x），g（x）的解析式，相加可得方程m=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x有且只有两个不等的实根．令h（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x，求出导数，得到单调区间和极值，即可得到所求m的值的集合．

解答 解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则Q₁（-x₁，-y₁），Q₂（-x₂，-y₂），
由题意可得y₁=e^x₁+x₁³-$\frac{1}{2}$x₁-1，-y₁=-x₁³-$\frac{m}{{x}_{1}}$，
即有y₁-y₁=e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁-1-$\frac{m}{{x}_{1}}$=0，
即为m=x₁e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²-x₁，
同理可得m=x₂e^x₂-$\frac{1}{2}$x₂²-x₂，
即有方程m=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x有且只有两个不等的实根．
令h（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x，导数为h′（x）=（x+1）e^x-x-1
=（x+1）（e^x-1），
由h′（x）=0，解得x=-1或x=0，
当-1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减；
当x＞0或x＜-1时，h′（x）＞0，h（x）递增．
即有h（x）在x=0处取得极小值，且为0；
x=-1处取得极大值，且为$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{e}$．
则m=0或$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{e}$．
当m=0时，xe^x-$\frac{1}{2}$x²-x=0（x≠0）只有一解．
故答案为：{$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{e}$}．

点评 本题考查函数中参数的取值集合，注意运用参数分离和转化思想，考查对称法和构造函数法，运用导数求得极值是解题的关键，属于中档题．