Question

17．直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A₁A=AB，E为BB₁延长线上的一点，D₁E⊥面D₁AC．设AB=2．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D₁的大小； 
（Ⅱ）在D₁E上是否存在一点P，使A₁P∥面EAC？若存在，求D₁P：PE的值；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC与BD交于O，以O为原点，OA，OB，为x轴，y轴，过O作面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AC-D₁的大小．
（Ⅱ）设$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=$λ\overrightarrow{PE}$=λ（$\overrightarrow{{D}_{1}E}-\overrightarrow{{D}_{1}P}$），得$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（0，$\frac{2λ}{1+λ}$，$\frac{λ}{1+λ}$），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（-$\sqrt{3}$，$\frac{λ-1}{1+λ}$，$\frac{λ}{1+λ}$），由此能求出存在点P使A₁P∥面EAC，此时D₁P：PE=2：3．

解答 解：（Ⅰ）设AC与BD交于O，
如图以O为原点，OA，OB，为x轴，y轴，过O作面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），D₁（0，-1，2），
设E（0，1，2+h），
则$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（0，2，h），$\overrightarrow{CA}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（$\sqrt{3}，1，-2$），
∵D₁E⊥平面D₁AC，∴D₁E⊥AC，D₁E⊥D₁A，
∴2-2h=0，∴h=1，即E（0，1，3），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{3}$，1，3），
设平面EAC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=2\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=-\sqrt{3}x+y+3z=0}\end{array}\right.$，令z=-1，得$\overrightarrow{m}$=（0，3，-1），
∵D₁E⊥面D₁AC，∴平面D₁AC的法向量为$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（0，2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{D}_{1}E}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}E}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{{D}_{1}E}|}$=$\frac{5}{\sqrt{10}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角E-AC-D₁的大小为45°．
（Ⅱ）设$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=$λ\overrightarrow{PE}$=λ（$\overrightarrow{{D}_{1}E}-\overrightarrow{{D}_{1}P}$），
得$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=$\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（0，$\frac{2λ}{1+λ}$，$\frac{λ}{1+λ}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0）+（0，$\frac{2λ}{1+λ}$，$\frac{λ}{1+λ}$）=（-$\sqrt{3}$，$\frac{λ-1}{1+λ}$，$\frac{λ}{1+λ}$），
∵A₁P∥面EAC，∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}$⊥$\overrightarrow{m}$，
∴-$\sqrt{3}×0+3×\frac{λ-1}{1+λ}+（-1）×\frac{λ}{1+λ}$=0，
解得$λ=\frac{3}{2}$，
∴存在点P使A₁P∥面EAC，此时D₁P：PE=2：3．

点评 本题考查二面角的大小的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．