Question

5．如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别为棱AD，AB，DC，BC的中点．
（1）求证：平面A₁EF∥平面MNB₁D₁；
（2）二面角A-EF-A₁的正切值．

Answer 1

分析 （1）由已知得EF∥MN，D₁M∥A₁F，由此能证明平面A₁EF∥平面MNB₁D₁．
（2）连结BD、AC，交于点O，AC∩EF=G，则∠A₁GA是二面角A-EF-A₁的平面角，由此能求出二面角A-EF-A₁的正切值．

解答 证明：（1）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别为棱AD，AB，DC，BC的中点，
∴EF∥MN，D₁M∥A₁F，
又A₁E∩EF=E，D₁M∩MN=M，
A₁E，EF?平面A₁EF，D₁M，MN?平面D₁MN，
∴平面A₁EF∥平面MNB₁D₁．
解：（2）连结BD、AC，交于点O，AC∩EF=G，
设正方体棱长为2，E，F，M，N分别为棱AD，AB，DC，BC的中点，
∴AG=$\frac{1}{2}AO=\frac{1}{4}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AG⊥EF，A₁G⊥EF，
∴∠A₁GA是二面角A-EF-A₁的平面角，
∴tan∠A₁GA=$\frac{A{A}_{1}}{AG}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴二面角A-EF-A₁的正切值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．