Question

17．已知函数f（x）=-$\frac{a}{2}$x²+（a-1）x+lnx．
（Ⅰ）若a＞-1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{a}{2}$x²+（1-2a）x+f（x）有且只有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）由h（x）=lnx的图象与直线y=ax有两交点可知；a＞0，再根据导数求出切线的斜率，即可求出有2个交点时a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-$\frac{a}{2}$x²+（a-1）x+lnx，（x＞0），
f′（x）=-ax+（a-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（-ax-1）（x-1）}{x}$，
0＜-a＜1即-1＜a＜0时，-$\frac{1}{a}$＞1，
令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$或0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，-$\frac{1}{a}$）递减，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）递增，
-a≤0即a≥0时，-ax-1＜0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{a}{2}$x²+（1-2a）x+f（x）有且只有两个零点，
即lnx=ax有且只有两个零点，
即h（x）=lnx，y=ax有且只有2个交点，
由h（x）=lnx的图象与直线y=ax有两交点
可知；a＞0，
当直线与h（x）=lnx相切时，设切点（x₀，lnx₀）
∵h′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴根据切线的斜率与导数值的关系可知：$\frac{1}{{x}_{0}}$=a，即x₀=$\frac{1}{a}$，
代入直线方程可得；ln$\frac{1}{a}$=1，解得：a=$\frac{1}{e}$，
所以函数h（x）=lnx的图象与直线y=ax有两交点，
则0＜a＜$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查函数的单调性问题，考查对数函数的性质，导数的应用，解决交点问题．