Question

12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf'（x）+f（x）＜0恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（2）=0得g（2）=0、还有g（0）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．

解答 解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf'（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），
∴g（x）在R是偶函数，
∴g（x）在（-∞，0）递增，
而f（2）=0，故g（2）=g（-2）=0，
∴不等式xf（x）＞0，
∴g（x）＜g（2），∴|x|＜2，
解得：-2＜x＜2，
而x=0时，g（x）=0，
故不等式的解集是（-2，0）∪（0，2），
故选：D．

点评 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．