Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2BC=2AB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求平面BCE将四棱锥P-ABCD分成的上下两部分体积V₁、V₂之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点H，连接CH，则CH⊥AD，CH=AB=HD，证明CD⊥平面PAC，即可证明求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）证明B，C，E，F四点共面，故平面BCE将四棱锥P-ABCD分成的上部分为四棱锥P-BCEF，下部分为多面体EFABCD．易知ABF-HCE为直三棱柱，CH⊥平面PAD，利用体积公式，即可求平面BCE将四棱锥P-ABCD分成的上下两部分体积V₁、V₂之比．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
取AD中点H，连接CH，则CH⊥AD，CH=AB=HD．
∴∠ACH=∠DCH=45°，
∴AC⊥CD，
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：取PD中点E，PA中点F，连接EF，BE，则EF∥AD，
∵BC∥AD，
∴EF∥BC，
∴B，C，E，F四点共面．
故平面BCE将四棱锥P-ABCD分成的上部分为四棱锥P-BCEF，下部分为多面体EFABCD．
易知ABF-HCE为直三棱柱，CH⊥平面PAD．
∴V₂=V_ABF-HCE+V_C-DEH=S_△ABF•BC+$\frac{1}{3}{S}_{△DEH}•CH$=$\frac{1}{2}AB•AF•BC$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×HD×HE×CH$
=$\frac{1}{2}×1×1×1+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{2}{3}$，
∵V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（BC+AD）•AB•PA$=1，
∴V₁=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生付现金及微软的能力，正确运用公式是关键．