Question

18．已知函数f（x）=x+e^x-a，g（x）=ln（x+2）-4e^a-x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x₀，使f（x₀）-g（x₀）=3成立，则实数a的值为（　　）

• A． -ln2-1
• B． -1+ln2
• C． -ln2
• D． ln2

Answer 1

分析 令f（x）-g（x）=x+e^x-a-1n（x+2）+4e^a-x，运用导数求出y=x-ln（x+2）的最小值；运用基本不等式可得e^x-a+4e^a-x≥4，从而可证明f（x）-g（x）≥3，由等号成立的条件，从而解得a．

解答 解：令f（x）-g（x）=x+e^x-a-1n（x+2）+4e^a-x，
令y=x-ln（x+2），y′=1-$\frac{1}{x+2}$=$\frac{x+1}{x+2}$，
故y=x-ln（x+2）在（-2，-1）上是减函数，（-1，+∞）上是增函数，
故当x=-1时，y有最小值-1-0=-1，
而e^x-a+4e^a-x≥4，
（当且仅当e^x-a=4e^a-x，即x=a+ln2时，等号成立）；
故f（x）-g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=a+ln2=-1，
即a=-1-ln2．
故选：A．

点评 本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．