Question

13．如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（1）求证：PM⊥平面SAC；
（2）求二面角M-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）三角形中位线定理得PM∥BC，推导出SC⊥BC，BC⊥AC，从而BC⊥平面SAC，由此能证明PM⊥平面SAC．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵点P、M分别是SC和SB的中点
∴PM∥BC，
∵SC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴SC⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∵AC∩SC=C，∴BC⊥平面SAC，
∴PM⊥平面SAC．
解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°，
∴设AM=SC=2t，M（0，1，t），∴$\sqrt{1+1+{t}^{2}}$=2t，解得t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴A（1，0，0），B（0，2，0），M（0，1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
$\overrightarrow{AB}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AM}$=（-1，1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
设平面ABM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-x+y+\frac{\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角M-AB-C的平面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{4+1+\frac{3}{2}}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
∴二面角M-AB-C的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．