Question

8．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．
（1）证明：AG∥平面BDE．
（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG∥平面BDE．
（2）求出平面ADE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC
CE⊥BC，CE?平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD，
以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），G（0，2，1），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{EB}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{ED}$=（2，0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
∵$\overrightarrow{AG}$=（-2，1，1），∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{m}$=0，∴$\overrightarrow{AG}$⊥$\overrightarrow{m}$，
∵AG?平面BDE，∴AG∥平面BDE．
解：（2）设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{DA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（-2，0，2），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
由（1）得平面BDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
设平面BDE和平面ADE所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．