Question

17．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别在线段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使A到达M位置，B到达N位置，且平面MNFE⊥平面EFCD
（1）判断直线MD与 NC是否共面，用反证法证明你的结论
（2）若MC与平面EFCD所成角记为θ，那么tanθ为多少时，二面角M-DC-E的大小是60°

Answer 1

分析 （1）直线AD与BC是异面直线．反证法：假直线AD与BC共面，由线面平行的性质定理及平行公理，我们可以得到四边形ABCD是平行四边形，这与已知中ABCD为梯形矛盾，进而得到直线AD与BC是异面直线．
（2）延长CD，EF，相交于N，设AB=x，则△NDE中，NE=x，过E作EH⊥DN于H，连接AH，可证得∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，由已知中二面角A-DC-E的大小是60°我们可以构造方程求出x值，构造∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角，解三角形ACE即可求出直线AC与平面EFCD所成角，进而得到答案．

解答 解：（1）MD与NC不共面，即MD和NC是异面直线
下面用反证法证明：
假设直线MD与NC共面为α．
∵EF⊥NNF，MN⊥NF，
∴EF∥MN，EF?α，MN?α．
∴EF∥α，又EFCD∩α=CD
∴EF∥CD．
∴CD∥MN，∴CD∥AB，
又AD∥BC，∴ABCD是平行四边形
这与ABCD为梯形矛盾．故假设不成立．
∴直线MD与NC是异面直线．
（2）延长CD，EF，相交于G，ME=2，MD=4，NC=6，
∴ED=2，CF=4，设MN=x，则△NDE中，NE=x，
∵ME⊥EF，平面MNFE⊥平面EFCD，
∴ME⊥平面EFCD．过E作EH⊥DG于H，连接MH，
则MH⊥DG．
∴∠MHE是二面角M-DC-E的平面角，
则∠MHE=60°．
∵GE=x，DE=2
∴HE=$\frac{2x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，ME=2，
∴tan∠MHE=$\frac{ME}{EH}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4}}{x}$=$\sqrt{3}$，解得x=$\sqrt{2}$，
此时在△EFC中，EF=$\sqrt{2}$，FC=4
∴EC=3$\sqrt{2}$．又ME⊥平面EFCD，
∴∠MCE是直线MC与平面EFCD所成的角，
∴tan∠MCE=$\frac{ME}{EC}$=$\frac{2}{3\sqrt{2}}$=tanθ=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线的判定，其中（1）中反证法关键是由假设结论不成立，推理后得到矛盾，（2）的关键是找出∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角．