Question

7．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2，$PA=PD=\sqrt{2}$．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AD中点O，连结PO、CO，
∵PA=PD=$\sqrt{2}$，AB=2，∴△PAD为等腰直角三角形，
∴PO=1，PO⊥AD，
∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，
∴$CO=\sqrt{3}$，又PC=2，
∴PO²+CO²=PC²，∴PO⊥CO
又AB∩CO=O，AB?平面ABCD，CO?平面ABCD，
∴PO⊥平面ACD，又PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（2）建立以O为坐标原点，OC，OD，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，1），B（$\sqrt{3}$，-2，0），
设平面APC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，则x=1，y=-$\sqrt{3}$．即$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
设平面PCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-\sqrt{3}x+2y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，则x=1，y=0，即$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$）
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角A-PC-B的是锐二面角，
∴二面角A-PC-B的余弦值是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．