Question

9．已知f（x）=-3x²+a（6-a）x+b，a，b为实数．
（1）当b=-6时，解关于a的不等式f（1）＞0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3），求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）计算f（1）的值，求b=-6时，关于a的不等式f（1）＞0的解集即可；
（2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值．

解答 解：（1）∵f（x）=-3x²+a（6-a）x+b，
∴b=-6时，f（1）=-3+a（6-a）+b=-a²+6a-9，
∴不等式f（1）＞0可化为a²-6a+9＜0，
即（a-3）²＜0，
此不等式在实数范围内无解，
即关于a的不等式f（1）＞0的解集为∅；
（2）∵f（x）=-3x²+a（6-a）x+b＞0的解集为（-1，3），
∴方程-3x²+a（6-a）x+b=0的实数根为-1和3，
由根与系数的关系，得$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{a（6-a）}{3}}\\{-3=\frac{b}{-3}}\end{array}\right.$，
解得a=3±$\sqrt{3}$，b=9．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的关系以及根与系数的应用问题，是基础题目．