Question

20．设函数f（x）=x²+bx+c（a≠0，b，c∈R），若f（1+x）=f（1-x），f（x）的最小值为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，从左到右依次为A，B，C，D，是否存在实数t，使得线段|AB|，|BC|，|CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的对称轴求出b的值，根据函数的最小值求出c的值，从而求出函数的解析式即可；
（Ⅱ）分别求出|AB|-|CD|，|CB|，得到不等式（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{1-t}$＜$\sqrt{2}$$\sqrt{1+t}$，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（1+x）=f（1-x），
∴函数的对称轴是x=1，即-$\frac{b}{2}$=1，解得：b=-2；
∵f（x）的最小值是-1，∴$\frac{4c{-b}^{2}}{4}$=-1，解得：c=0，
∴f（x）=x²-2x；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，则0＜t＜1，
易知x_A=1-$\sqrt{1+t}$，x_B=1-$\sqrt{1-t}$，x_C=1+$\sqrt{1-t}$，x_D=1+$\sqrt{1+t}$，
∴|AB|-|CD|=$\sqrt{1+t}$-$\sqrt{1-t}$，|CB|=2$\sqrt{1-t}$，
∴线段|AB|，|BC|，|CD|能构成等腰锐角三角形，
∴|BC|≤$\sqrt{2}$|AB|，即2$\sqrt{1-t}$＜$\sqrt{2}$（$\sqrt{1+t}$-$\sqrt{1-t}$），
即（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{1-t}$＜$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+t}$，
解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜t＜1．

点评 本题考查了求二次函数的表达式，考查不等式问题，是一道中档题．