Question

8．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3ⁿ⁺¹-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=lga_n，设T_n为{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=S_n-S_n-1进而求得n≥2时数列的通项公式，进而利用a₁=S₁求得a₁，最后综合可求得a_n．
（2）求出b_n=lga_n=lg3ⁿ=nlg3，根据等差数列的求和公式计算即可．

解答 解：（1）∵2S_n=3ⁿ⁺¹-3，
∴当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=3ⁿ⁺¹-3-（3ⁿ-3）=2×3ⁿ；
∴a_n=3ⁿ，
当n=1时，2a₁=2S₁=3²-3=6，
∴a₁=3，满足上式，
∴a_n=3ⁿ，
（2）∵b_n=lga_n=lg3ⁿ=nlg3，
∴T_n=lg3（1+2+3+…+n）=$\frac{n（n+1）lg3}{2}$．

点评 本题主要考查了数列的通项公式，当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1进行求解，以及对数的运算性质和等差数列的前n项和公式，属于中档题．