Question

19．如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=2，PD=AB=$\sqrt{2}$，E，F分别为线段PD和BC的中点．
（1）求证：CE∥平面PAF；
（2）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，推导出四边形FCEH是平行四边形，从而EC∥HF，由此能证明CE∥平面PAF．
（2）以A为原点，AC，AD，AD所在直角为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，点G即为B点．

解答 证明：（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH
因为H、E分别为PA、PD的中点，所以$HE∥AD，HE=\frac{1}{2}AD$，
因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点，
所以$FC∥AD，FC=\frac{1}{2}AD$，
所以HE∥FC，HE=FC，四边形FCEH是平行四边形，所以EC∥HF，
又因为CE?平面PAF，HF?平面PAF，
所以CE∥平面PAF．
（2）因为四边形ABCD为平行四边形，且∠ACB=90°，
所以CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，得CA⊥平面PAD，所以CA⊥PA，
由$PA=AD=1，PD=\sqrt{2}$，知PA⊥AD，
以A为原点，AC，AD，AD所在直角为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
因为$PA=BC=1，AB=\sqrt{2}$，所以AC=1．
所以B（1，-1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），
假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC，
所成二面角的大小为60°，
设点G的坐标为（1，a，0），-1≤a≤0，
所以$\overrightarrow{AG}$=（1，a，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
设平面PAG的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AG}=x+ay=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=z=0}\end{array}\right.$，令x=a，得$\overrightarrow{m}$=（a，-1，0），
又$\overrightarrow{CG}$=（0，a，0），$\overrightarrow{CP}$=（-1，0，1），设平面PGC的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CG}=a{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=-{x}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令x₁=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，
所以cos60°=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}•\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
解得a=±1，又-1≤a≤0，所以a=-1，
所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小 为60°，
点G即为B点．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．