Question

11．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，E，F分别是CC₁，BC的中点，AE⊥A₁B₁，D为棱A₁B₁上的点．
（1）证明：AB⊥AC；
（2）证明：DF⊥AE；
（3）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{14}}}{14}$？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面A₁ACC₁．即可．
（2）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明．
（3）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 （1）证明：∵AE⊥A₁B₁，A₁B₁∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA₁⊥AB，AA₁∩AE=A，∴AB⊥面A₁ACC₁．
又∵AC?面A₁ACC₁，∴AB⊥AC，
（2）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则有$A（{0，0，0}），E（{0，1，\frac{1}{2}}），F（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}），{A_1}（{0，0，1}），{B_1}（{1，0，1}）$，
设$D（{x，y，z}），\overrightarrow{{A_1}D}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$且λ∈（0，1），
即（x，y，z-1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），∴$\overrightarrow{DF}=（{\frac{1}{2}-λ，\frac{1}{2}，-1}）$，
∵$\overrightarrow{AE}=（{0，1，\frac{1}{2}}）$，∴$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，所以DF⊥AE；
（3）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{14}}}{14}$，理由如下：
由题可知面ABC的法向量$\overrightarrow n=（{0，0，1}）$，设面DEF的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}}\right.$，
∵$\overrightarrow{FE}=（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}），\overrightarrow{DF}=（{\frac{1}{2}-λ，\frac{1}{2}，-1}）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{（{\frac{1}{2}-λ}）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{{2（{1-λ}）}}z}\\{y=\frac{1+2λ}{{2（{1-λ}）}}z}\end{array}}\right.$，
令z=2（1-λ），则$\overrightarrow n=（{3，1+2λ，2（{1-λ}）}）$．
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{14}}}{14}$，
∴$|{cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{14}}}{14}$，
即$\frac{{|{2（{1-λ}）}|}}{{\sqrt{9+{{（{1+2λ}）}^2}+4{{（{1-λ}）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{14}}}{14}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{7}{4}$（舍），
所以当D为A₁B₁中点时满足要求．

点评 本题考查的知识点是空间直线的垂直的判断以及空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．考查学生的运算和推理能力．