Question

6．已知函数f₁（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$，对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），则f_6n+1（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$．

Answer 1

分析 函数对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，分别计算前n项，得到从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．由此能求出结果．

解答 解：∵函数对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（$\frac{2x-1}{x+1}$）=$\frac{2•\frac{2x-1}{x+1}-1}{\frac{2x-1}{x+1}+1}$=$\frac{x-1}{x}$；
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=f₁（$\frac{x-1}{x}$）=$\frac{2•\frac{x-1}{x}-1}{\frac{x-1}{x}+1}$=$\frac{x-2}{2x-1}$；
f₄（x）=f₁[f₃（x）]=f₁（$\frac{x-2}{2x-1}$）=$\frac{2•\frac{x-2}{2x-1}-1}{\frac{x-2}{2x-1}+1}$=$\frac{1}{1-x}$；
f₅（x）=f₁[f₄（x）]=f₁（$\frac{1}{1-x}$）=$\frac{2•\frac{1}{1-x}-1}{\frac{1}{1-x}+1}$=$\frac{x+1}{2-x}$；
f₆（x）=f₁[f₅（x）]=f₁（$\frac{x+1}{2-x}$）=$\frac{2•\frac{x+1}{2-x}-1}{\frac{x+1}{2-x}+1}$=x，
f₇（x）=f₁[f₆（x）]=f₁（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$=f₁（x）．
所以从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．
则f_6n+1（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$．
故答案为：$\frac{2x-1}{x+1}$．

点评 本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真运算，解题的关键是得到从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．