Question

16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜$\frac{1}{3}$，则f（x）＜$\frac{x}{3}+\frac{2}{3}$的解集为（1，+∞）．

Answer 1

分析 先构造函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，根据条件求出函数F（x）的单调性，结合不等式f（x）＜$\frac{x}{3}+\frac{2}{3}$，变形得到F（x）＜F（1），根据单调性解之即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，则
F'（x）=f'（x）-$\frac{1}{3}$＜0，
∴函数F（x）在R上单调递减函数，
∵f（x）＜$\frac{x}{3}+\frac{2}{3}$，
∴f（x）-$\frac{1}{3}$x＜f（1）-$\frac{1}{3}$，
即F（x）＜F（1），
根据函数F（x）在R上单调递减函数可知x＞1，
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解决本题的关键是构造法的运用，属于中档题．