Question

3．对于数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1-a_n∈{a₁，a₂，…，a_n}（n∈N⁺），其前n项和为S_n，记满足条件的所有数列{a_n}中，S₅的最大值为a，最小值为b，则a-b=16．

Answer 1

分析 由a₁=1，a_n+1-a_n∈{a₁，a₂，…，a_n}（n∈N⁺），分别令n=2，3，4，5，求得{a_n}的前5项，观察得到最小值b=1+2+3+4+5，a=1+2+4+8+16，计算即可得到a-b的值．

解答 解：由a₁=1，a_n+1-a_n∈{a₁，a₂，…，a_n}（n∈N⁺），
可得a₂-a₁=a₁，解得a₂=2a₁=2，
又a₃-a₂∈{a₁，a₂}，可得a₃=a₂+a₁=3或2a₂=4，
又a₄-a₃∈{a₁，a₂，a₃}，可得a₄=a₃+a₁=4或5；
a₄=a₃+a₂=5或6；或a₄=2a₃=6或8；
又a₅-a₄∈{a₁，a₂，a₃，a₄}，可得a₅=a₄+a₁=5或6或7；
a₅=a₄+a₂=6或7或8；a₅=a₄+a₃=7或8或9或10或12；
a₅=2a₃=8或10或12或16．
综上可得S₅的最大值a=1+2+4+8+16=31，
最小值为b=1+2+3+4+5=15．
则a-b=16．
故答案为：16．

点评 本题考查数列的和的最值，注意运用元素与集合的关系，运用列举法，考查判断能力和运算能力，属于中档题．