Question

11．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）若二面角P-AD-B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明．
（2）根据二面角平面角的定义先找出平面角，结合直线和平面所成角的定义作出线面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （1）证明：取PB的中点M，连接MF，AM．
又∵F为PC的中点，∴FM∥BC，FM=$\frac{1}{2}$BC，（中位线定理），
∵E为AD的中点，ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴FM∥AE，FM=AE，
∴四边形AEFM为平行四边形
∴EF∥AM，
∵MA?平面PAB，EF??平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）∵BA=BD，PA=PD 且 E为AD的中点，
∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴∠PEB为二面角P-AD-B的平面角，∴∠PEB=60°，
∵在Rt△ABD，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴BE=1，
∵∠PEB=60°，∴Rt△PBE中，PB=$\sqrt{3}$，
∵BE⊥AD，AD∥BC，∴BE⊥BC，?
∵PB⊥面ABCD，∴PB⊥BE，?
由BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，
∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成角，
∵在Rt△ABM中，AM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$∴$EF=\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
∴在Rt△EBF中，sin∠EFB=$\frac{BE}{EF}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{11}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$，
∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题主要考查线面平行以及空间二面角，直线和平面所成角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．考查学生的运算和推理能力．