Question

16．如图，一个侧棱长为l的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱AC，BC，B₁C₁，A₁C_l的中点D，E，F，G．
（I）求证：平面DEFG∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）当底面ABC水平放置时，求液面的高．

Answer 1

分析 （I）证明DE∥平面ABB₁A₁，DG∥平面ABB₁A₁，即可证明：平面DEFG∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积．

解答 （I）证明：∵棱AC，BC的中点D，E，
∴DE∥AB，
∵DE?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，
∴DE∥平面ABB₁A₁，
同理DG∥平面ABB₁A₁，
∵DE∩DG=D，
∴平面DEFG∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解：当侧面AA₁B₁B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形
设△ABC的面积为S，则S_梯形ABFE=$\frac{3}{4}$S，
V_水=$\frac{3}{4}$S•AA₁=$\frac{3}{4}$Sl．
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V_水=Sh，
∴$\frac{3}{4}$Sl=Sh，∴h=$\frac{3}{4}$l．
故当底面ABC水平放置时，液面高为$\frac{3}{4}$l．

点评 本题考点是棱柱、棱锥、棱台的体积，考查线面、平面与平面平行的判定，考查用用体积公式来求高，解答本题时要充分考虑几何体的形状，根据其形状选择求解的方案．