Question

【题目】（本小题满分16分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.

（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；

（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.

Answer 1

【答案】（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）

∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）

∵a1=1，∴S1=a1=1.

∴S2=，S3==，S4=， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想Sn=（n∈N*）. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，

当n=k+1时，

Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，

∴ak+1=，

∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵ak+1=，∴an=. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分

【解析】

（1）根据数列中和的关系式，得到，进而由，即可分别求解得值，归纳猜想的表达式；

（2）用数学归纳法作出证明：第一步，先证明时，结论成立，第二步，假设时成立，证明时也成立，即可得到结论成立．

解：(1)因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)

所以Sn＝n2(Sn－Sn－1)，所以Sn＝Sn－1(n≥2)

因为a1＝1，所以S1＝a1＝1.

所以S2＝，S3＝＝，S4＝，

猜想Sn＝ (n∈N*)．

(2)①当n＝1时，S1＝1成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即Sk＝，

当n＝k＋1时，

Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋，

所以ak＋1＝，

所以Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝＝.

所以n＝k＋1时等式也成立，得证．

所以根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立．

由Sn＝n2an，得＝n2an，所以an＝.