Question

【题目】已知函数

讨论函数的单调性；

设，对任意的恒成立，求整数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）整数的最大值-2

【解析】

(1)根据的取值范围，分类讨论的单调性；

(2)先考虑特殊情况：，然后分析，借助的单调性以及恒成立对应的最值得到关于的不等式，构建新函数分析新函数的零点与之间的关系，从而求解出的最大整数值.

（1）因为，所以，

当 时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递增，

当时，令，解得：，令，解得：，

所以在上递增，在上递减，

综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减；

（2）当时，则，不满足恒成立．

若，由（1）可知，函数在上递增，在递减．

所以，

又因为恒成立，所以恒成立，

令，所以，所以在上递增，

又因为，，

所以存在唯一的使，

当时，，当时，，

所以，所以且，

又因为，所以，

所以整数的最大值为.