Question

【题目】（12分）若数列{an}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn= ，求数列{bn}的前项的和Tn．

（3）是否存在自然数m，使得 ＜Tn＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；

若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1） an= 2n﹣1；（2）（1﹣）=；（3）存在；理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由于{}为等差数列， ,,,成等比数列，可设出数列{}的公差为，列方程组即可求出;（2）在求出{}的通项公式后，求出{}的通项公式，再应用裂项相消法即可求;(3)需先求Tn的值域，要使得恒成立，则需区间()包含Tn的值域即可.

试题解析：

（1）在等差数列中，设公差为d≠0，

由题意，∴，解得．

∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（2）由（1）知，an=2n﹣1．

则bn=

所以Tn=

（3）Tn+1﹣Tn=,

∴{Tn}单调递增，∴Tn≥T1=．∵Tn=∴≤Tn＜, 使得恒成立,只需

解之得,又因为m是自然数，∴m=2．